わかりやすく同値⇔について解説した

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同値 $\Leftrightarrow$ について、わかりやすく解説しました。
高校数学でいきなり出てくるけど、イマイチよく意味がわからなかった記憶があります。

同値とは
集合的に考える

同値とは

まずは、 $\Leftrightarrow$ の意味について解説します。この記号はもちろん「同値」という意味です。 $\Leftrightarrow$ は $\Leftarrow$ と $\Rightarrow$ を合わせたものです。
$A\Rightarrow B$ は、「AならばB」と読み、「Aが正しいとき、必ずBも正しいよ」という意味です。 $A\Leftarrow B$ は逆に「Bが正しいとき、必ずAも正しいよ」という意味です。
なので $A\Leftrightarrow B$ は「Aが正しいとき、必ずBも正しい」と「Bが正しいとき、必ずAも正しい」が両方共に成り立つという意味です。と言っても分かりづらいと思いますので、次の例を見ながら考えてみましょう。

$x=2である \tag{A}$
$xは整数である \tag{B}$

この場合、「Aが正しい」というのは、 $x=2$ のときですね。2は整数なので、「Bも正しい」です。つまり「Aが正しいとき、必ずBも正しい」ので、 $A\Rightarrow B$ が成り立ちます。では逆に「Bが正しい」ときは $x=...-3,-2,-1,0,1,2,3,...$ の場合ですよね。

この場合は、「Bが正しいとき、必ずAも正しい」とは言えません。例えば $x=3$ の場合、「Bは正しい」ですが、「Aは正しく」ないですよね。「Bが正しいとき、必ずAが正しい」とは言えないんですね。よって今回は $A\Leftarrow B$ は成り立ちません。「必ず」というのがキモです。 $A\Leftarrow B$ が成り立つためには、「 $x$ が整数」であるすべての $x$ に対してAが成り立たなければいけないということです。

では、次の場合はどうでしょう。
$xは整数である、かつ1＜x＜3である \tag{C}$
この場合は、 $A\Leftrightarrow C$ が成り立つのがわかるでしょうか。 $x=2$ のとき「Aは正しい」です。そのとき「Cは正しい」ので、 $A \Rightarrow B$ が成り立ちます。逆に「Cが正しい」とき、 $x=2$ となります。それ以外の $x$ ではCは成り立ちません。よって「Cが正しいとき、必ずAも正しい」ので、 $A \Leftarrow C$ となります。
以上から $A\Leftrightarrow C$ が成り立ちます。

集合的に考える

さて、「同値」という意味がわかってきたでしょうか。この章では同値を集合的に考えてみたいと思います。少しだけ難しくなります。
Aを「Aを満たす $x$ の集合」（集合A）と言い換えてみましょう。同様にBを「Bを満たすような $x$ の集合」（集合B）と考えてましょう。

すると集合Aというのは $x=2$ のみです。集合Bは $x=...-1,0,1,2...$ ですね。ここで、集合の包含関係について考えます。包含関係とは、どちらの集合がどちらに含まれるかということです。例えば、集合Aが集合Bに含まれるとは、集合Aの要素がすべて集合Bに含まれている場合です。
具体的みてみましょう。例えば今回の場合、下図のように集合Aは集合Bに完全に含まれます（ $x=2$ は集合Bの要素ですね）。
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集合Aが集合Bに含まれるということは、「Aを満たすとき、必ずBも満たす」ことになるので、 $A \Rightarrow B$ です。逆に、集合Aは集合Bに含まえていないということは、「Bを満たすとき、必ず集合Aを満たす」わけではありません。「同値」というのは「集合Aが集合Bに含まれる」かつ「集合Bが集合Aに含まれる」ということです。これは、集合Aの要素と集合Bの要素が全く同じということです。

例えば、Cを満たすのは $x=2$ のときだけですよね。つまり集合Aと集合Cの要素は同じです。このように集合的に考えてみるとわかりやすいことがあります。特に連立方程式の同値変形するときには非常に役に立ちます。